Так как пи­ра­ми­да пра­виль­ная, то в её ос­но­ва­нии лежит квад­рат со сто­ро­ной 8, пря­мые SN и SK равны 8, так как яв­ля­ют­ся апо­фе­ма­ми. Точка M  — се­ре­ди­на SN. Пря­мая DC па­рал­лель­на плос­ко­сти ASB, так как DC па­рал­лель­на AB. Про­ведём A₁B₁ так, что она па­рал­лель­на пря­мой AB и про­хо­дит через точку M. Тогда по тео­ре­ме Фа­ле­са точки A₁ и B₁  — се­ре­ди­ны рёбер AS и BS. Зна­чит, тра­пе­ция A₁B₁CD  — ис­ко­мое се­че­ние, A₁B₁  =  4, так как яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка SAB. Пря­мая NK  — про­ек­ция пря­мой MK на плос­кость ос­но­ва­ния. Так как NK па­рал­лель­но AD, а AD пер­пен­ди­ку­ляр­на DC, то NK пер­пен­ди­ку­ляр­на DC. Зна­чит, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах MK пер­пен­ди­ку­ляр­на DC. Так как тре­уголь­ник NSK рав­но­сто­рон­ний, тогда MK  — ме­ди­а­на и вы­со­та, тогда Пло­щадь се­че­ния

Ответ:

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны между собой. Про­ве­дем от­рез­ки AM и MK, пря­мые MK и SB па­рал­лель­ны. При­ме­нив тео­ре­му Фа­ле­са, по­лу­ча­ем, что BK  =  KC. Пря­мые SB и MK па­рал­лель­ны, пря­мая MK лежит в плос­ко­сти AMK, тогда пря­мая SB па­рал­лель­на плос­ко­сти AMK. Тре­уголь­ник AMK яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, длина его сто­ро­ны равна 6. Про­ве­дем ме­ди­а­ну AK, она яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Так как BC  =  6, BK  =  3. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABK:

Тре­уголь­ни­ки SCB и MKC по­доб­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 2, При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ASC:

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ASM:

Таким об­ра­зом, из­вест­ны длины всех сто­рон тре­уголь­ни­ка AMK: AM  =  5,5, MK  =  3,5, Наи­боль­шей сто­ро­ной яв­ля­ет­ся сто­ро­на AM, ее длина равна 5,5.

Ответ: 5,5.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды лежит рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник ABC, бо­ко­вые ребра пи­ра­ми­ды равны между собой. Про­ве­дем от­рез­ки AM и MK, пря­мые MK и SC па­рал­лель­ны. При­ме­нив тео­ре­му Фа­ле­са, по­лу­ча­ем, что BK  =  KC. Пря­мые SC и MK па­рал­лель­ны, пря­мая MK лежит в плос­ко­сти AMK, тогда пря­мая SC па­рал­лель­на плос­ко­сти AMK. Тре­уголь­ник AMK яв­ля­ет­ся ис­ко­мым се­че­ни­ем. Тре­уголь­ник ABC  — рав­но­сто­рон­ний, длина его сто­ро­ны равна 8. Про­ве­дем ме­ди­а­ну AK, она яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой и вы­со­той. Так как BC  =  8, BK  =  4. При­ме­ним тео­ре­му Пи­фа­го­ра в тре­уголь­ни­ке ABK:

Тре­уголь­ни­ки SCB и BMK по­доб­ны, ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 2, тогда При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ABS:

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке ASM:

Таким об­ра­зом, из­вест­ны длины всех сто­рон тре­уголь­ни­ка AMK: AM  =  9, MK  =  7, Наи­мень­шей сто­ро­ной яв­ля­ет­ся сто­ро­на AK, ее длина равна

Ответ: